Пишется только слитно, это единственный правильный вариант. Домашние обязанности (уборка, стирка и другие домашние дела) — это house work. Потому что house — дом в значении здания, то есть мы делаем работу внутри здания, которое является нашим домом. Эти два слова в таком значении пишутся всегда раздельно.